Bollettino Siccità

Lo SPI (McKee et al., 1993) è un indicatore statistico basato sul confronto tra la precipitazione registrata in un determinato luogo e in un determinato periodo di \(t\) mesi (dove \(t\) = 3, 6, 12 e 24 mesi nel presente bollettino) con la distribuzione a lungo termine della precipitazione per quel determinato luogo aggregata per lo stesso periodo di tempo \(t\). In altre parole, se si vuole calcolare lo SPI a 1 mese per il mese di giugno in un dato luogo, si dovrà considerare la serie delle precipitazioni registrate in quel determinato luogo nel mese di giugno per gli anni passati, mentre se si vuole calcolare lo SPI a 6 mesi alla fine di giugno si metterà a confronto la pioggia registrata nel periodo gennaio-giugno con la serie a lungo termine della pioggia gennaio-giugno registrata negli anni passati, e così via. Il calcolo dello SPI si basa quindi sull'analisi di una serie storica a lungo termine di osservazioni di precipitazione aggregate su un determinato intervallo temporale. 

Il calcolo dello SPI richiede serie temporali molto lunghe. Secondo il WMO (2012), è necessario considerare serie temporali con almeno 30 anni continui di precipitazioni mensili. I dati giornalieri di rateo di precipitazione (kg m^-2 s^-1) della reanalisi NCEP/NCAR, disponibili in rete dal 1948 ad oggi sull’intero globo, sono adatti a fornire serie temporali adeguatamente lunghe e omogeneamente distribuite sulle aree prese in esame. L’archivio dei dati presso l’ISPRA è aggiornato mensilmente con le nuove reanalisi messe a disposizione dall’NCAR. Il calcolo dell’indice SPI per il presente bollettino passa quindi per la costruzione mensile di serie di precipitazione a 3, 6, 12 e 24 mesi per ogni punto di griglia della reanalisi NCEP/NCAR incluso nelle aree considerate.

Per ciascun punto analizzato, la serie storica di precipitazione aggregata è interpolata mediante una distribuzione di probabilità teorica. Thom (1966) ha mostrato come la distribuzione gamma sia quella che meglio interpola le serie temporali climatologiche di precipitazione aggregata.

Sia \(X\)  la serie temporale di precipitazione costituita da \(n\) osservazioni aggregate al passo temporale \(t\) (= 3, 6, 12 o 24 mesi). Per ogni \(x \gt 0\) la distribuzione gamma \(g(x)\) è definita come:
\[g(x)=\frac{1}{\beta^{\alpha}\,\Gamma(\alpha)}\,x^{\alpha-1}\,e^{-x/\beta}\]dove \(\alpha\) \((\gt 0)\) è un parametro di forma, \(\beta\) \((\gt 0)\) è un parametro di scala e \(\Gamma(\alpha)\) è la funzione gamma. L’interpolazione si ottiene mediante una stima ottimale (indicata con \(\hat{.}\)) dei parametri \(\alpha\) e \(\beta\) ottenuta col metodo della massima verosimiglianza:
\[\hat{\alpha} = \frac{1}{4A}\left(1+\sqrt{1+\frac{4A}{3}}\right)\] \[\hat{\beta} = \frac{\bar{x}}{\hat{\alpha}} \]dove \(A=\ln\left(\bar{x}\right)-\frac{1}{n}\Sigma_{n}\ln(x)\) e \(\bar{x}\) è la media delle \(n\) osservazioni di precipitazione. 

Tanto più lunga sarà la serie utilizzata per il calcolo dei parametri della distribuzione, tanto maggiore sarà la robustezza delle stime ottenute per i parametri della distribuzione \(g(x)\). Per questo motivo, a meno di dotarsi di lunghe serie pluviometriche omogeneamente distribuite sull'area in esame, i dati di precipitazione della reanalisi NCEP/NCAR, disponibili dal 1948, sembrano rappresentare una scelta ottimale per il monitoraggio omogeneo della siccità sia a scala Europea che nazionale. La distribuzione cumulativa di probabilità è data da:
\[G(x)=\int_0^x g(x)dx=\frac{1}{\hat{\beta}^{\hat{\alpha}}\,\Gamma(\hat{\alpha})}\int_0^x x^{\hat{\alpha}-1}\,e^{-x/\hat{\beta}}dx,\]che può essere facilmente stimata utilizzando le approssimazioni numeriche note in letteratura (si veda, ad es., Abramowitz e Stegun, 1965, Press et al., 2007). Tuttavia, dato che la distribuzione gamma non è definita per \(x\) uguale a zero e la serie delle precipitazioni cumulate può contenere degli zeri in effetti ne contiene molti: i periodi di non pioggia), la distribuzione cumulativa è ridefininta come segue:\[H(x)=q+(1-q)G(X)\] dove \(q\) è la probabilità di precipitazione nulla, che può essere stimata come il rapporto tra il numero \(m\) di zeri nella serie temporale delle precipitazioni e il numero totale di osservazioni di precipitazione, ossia: \(q=m/n\).

La distribuzione cumulativa \(H(x)\) è poi trasformata in una distribuzione normale (v. Panofsky e Brier, 1958), pertanto il valor medio dello SPI per un determinato luogo e periodo di aggregazione considerato è uguale a zero (Edwards e McKee, 1997). La trasformazione conserva la probabilità cumulativa, nel senso che la probabilità della variabile di trovarsi al di sotto di un certo valore nella distribuzione gamma è uguale alla probabilità della variabile trasformata normalmente distribuita di trovarsi al di sotto della trasformata di quel valore. Da un punto di vista computazionale, il valore di SPI può essere ottenuto utilizzando l’approssimazione proposta in Abramowitz e Stegun (1965) che converte la distribuzione cumulativa \(H(x)\) della serie temporale \(X\) a quella di una variabile aleatoria normale \(Z\):\[
Z=SPI=\begin{cases}-\left(h-\frac{c_0+c_1h+c_2h^2}{1+d_1h+d_2h^2+d_3h^3}\right)&\mbox{per } 0 \lt H(x) \le 0.5\\+\left(h-\frac{c_0+c_1h+c_2h^2}{1+d_1h+d_2h^2+d_3h^3}\right) &\mbox{per } 0.5 \lt H(x) \le 1 \end{cases}\]dove si ha che:\[h=\begin{cases}\sqrt{ln\left(\frac{1}{(H(x))^2}\right)}&\mbox{per } 0 \lt H(x) \le 0.5\\\sqrt{ln\left(\frac{1}{(1-H(x))^2}\right)}&\mbox{per } 0.5 \lt H(x) \le 1 \end{cases}\]e che:\[\begin{matrix}c_0 = 2.515517 & c_1 = 0.802853 & c_2 = 0.010328 \\ d_1 = 1.432788 & d_2 = 0.189269 & d_3 = 0.001308. \end{matrix}\]Lo SPI fornisce un’indicazione sulla relazione tra la quantità di precipitazione caduta in un determinato intervallo di tempo e la sua climatologia, portando così a definire se l’area monitorata è affetta da condizioni di siccità oppure no. Dal momento che lo SPI è distribuito secondo una funzione di probabilità normale, è possibile monitorare sia periodi secchi che periodi umidi. Valori negativi di SPI corrispondono a periodi più secchi rispetto alla climatologia, ossia indicano un deficit di precipitazione (siccità), mentre valori positivi di SPI corrispondono a periodi più umidi, ossia indicano un surplus di precipitazione. Maggiore è la distanza dalla norma (climatologia), maggiore è la severità dell’evento. Inoltre, la normalizzazione che è alla base di questo indice permette di rappresentare nello stesso modo, e quindi di riportare su una stessa mappa, aree soggette a climatologie differenti. 

Ulteriori dettagli sullo SPI e sulle modalità di calcolo di questo indicatore sono reperibili nei testi citati in bibliografia.

 

Bibliografia

Abramowitz, M., and I.A. Stegun (eds.), 1965: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Publications, Inc., New York, New York, 1046 pp.

Edwards, D.C., and T.B. McKee, 1997: Characteristics of 20th century drought in the United States at multiple time scales. Climatology Rep. 97–2, Department of Atmospheric Science, Colorado State University, Fort Collins, Colorado, 155 pp.

McKee, T.B., N.J. Doesken, and J. Kleist, 1993: The relationship of drought frequency and duration of time scales. In Proc. of Eighth Conference on Applied Climatology, American Meteorological Society, January 17–23, 1993, Anaheim CA.

Panofsky, H. A., and G.W. Brier, 1958: Some applications of statistics to meteorology. Pennsylvania State University, University Park, 224 pp.

Press, W.H., S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, and B.P. Flannery, 2007: Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Third Edition. Cambridge University Press, 1256 pp.

Thom, H.C. S., 1966: Some methods of climatological analysis. WMO N. 199. Technical Note N. 81., Ginevra, 53 pp.

WMO–World Meteorological Organization, 2012: Standardized Precipitation Index User Guide (M. Svoboda, M., Hayes, M., Wood, D.). WMO-No. 1090, Geneva, 24pp.